Поиск статьи

Принцип определённости

Опубликовано: 12.10.2008 20:37:49

Рейтинг:

Если описывать динамическое состояние квантовой частицы (системы) методами квантовой механики, то квантовое динамическое состояние частицы (системы) оказывается хорошо определённым. Эта определённость квантового динамического состояния означает, что „малые“ пространственно-временные преобразования не могут существенно менять квантовое состояние.

Принцип определённости, открытый Д. А. Арбатским в 2005 г., является одним из общих фундаментальных принципов квантовой механики. В качественной формулировке он утверждает:

Если описывать динамическое состояние квантовой частицы (системы) методами квантовой механики, то квантовое динамическое состояние частицы (системы) оказывается хорошо определённым. Эта определённость квантового динамического состояния означает, что „малые“ пространственно-временные преобразования не могут существенно менять квантовое состояние.

С точки зрения математического формализма квантовой механики, такая „определённость“ квантового динамического состояния подразумевает не просто непрерывность отображения группы Пуанкаре во множество состояний квантовой системы, но существование конкретной оценки для конечных преобразований. Эта оценка даётся теоремой функционального анализа об операторах, представляющих наблюдаемые частицы, являющиеся генераторами группы Пуанкаре.

С качественной точки зрения, принцип определённости является более фундаментальным и общим, чем принцип неопределённости Гейзенберга. Принцип определённости позволил сформулировать новые теоремы, описывающие принцип неопределённости. Однако, не все теоремы, описывающие принцип неопределённости, являются формальными следствиями теоремы о принципе определённости.

Принцип определённости приложим к частицам (системам), у которых нет естественно-определённой наблюдаемой „координаты“ (что является типичным для релятивистских частиц).

Принцип определённости позволяет сформулировать соотношение определённости энергия-время, которое невозможно сформулировать в рамках принципа неопределённости.

Теорема

Определение. Квантовый угол (также известный как метрика Фубини-Штуди) между двумя (нормированными) квантовыми состояниями $|a angle$ и $|b angle$ определяется как:

$\angle(a,b) = \arccos \big|\langle a|b angle\big|$ .

Определение. Два состояния $|a angle$ и $|b angle$ различаются существенно, если $\angle(a,b) \ge 1$ .

Теорема (принцип определённости). Чтобы под действием сильно непрерывной однопараметрической унитарной группы $U(\delta s)=e^{-\,i\,\delta s\,A/\hbar}$ ( $\delta s \in \mathbb R$ — параметр группы) начальный вектор состояния $angle$ изменился существенно, необходимо, чтобы выполнялось неравенство:

$|\delta s|\, \Delta_ angle A \ge \hbar$ .

Это неравенство может быть записано также в виде:

$\Delta_ angle (\delta s A) \ge \hbar$ .

В этой форме оно естественным образом переносится на случай, когда $δ s$ и $A$ являются матрицами.

В первой строке в левой колонке таблицы имеется альтернативное неравенство, описывающее принцип неопределённости для случая координаты и импульса, которое является следствием принципа определённости.

Для случая угла и момента импульса принцип определённости также позволяет получить различные соотношения неопределённости. Они не показаны в таблице, поскольку они не являются настолько простыми, а также потому, что затруднительно выбрать одно из них. В любом случае, они проще, чем известные ранее.

История

После открытия в 1927 г. принципа неопределённости общие соображения, связанные с теорией относительности, указывали, что соотношение неопределённости вида

$\Delta E \Delta t \ge \hbar$ ,

по-видимому, должно существовать. Однако, многочисленные попытки дать его точную математическую формулировку были относительно безуспешными.

В 1945 г. Л. И. Мандельштам и И. Е. Тамм предложили строгую формулировку этого соотношения. Они полагали, что решили проблему, поскольку думали, что их соотношение (см. таблицу) является „соотношением неопределённости энергия-время в нерелятивистской квантовой механике“ и в приведённой таблице должно располагаться в левой колонке (правая колонка ещё не была известна).

В 2005 г. Д. А. Арбатский, используя теорию квантового угла и абстрактные теоретико-групповые методы (созданные для целей релятивистского канонического квантования), обобщил результат Л. И. Мандельштама и И. Е. Тамма в форме принципа определённости.

Анализируя релятивистские квантовые системы, Д. А. Арбатский показал, что принцип определённости (см. правую колонку таблицы) является более фундаментальным и общим, чем принцип неопределённости. Существование принципа неопределённости (см. левую колонку таблицы) в основном связано с нерелятивистским и квазиклассическим приближениями, а потому не обязано быть универсальным.